nico様、初めまして。
続きを読むボタンの見た目は、tegalog.cssの148行目あたりにある
a.readmorebutton {
margin: 20px auto;
border: 1px solid;
text-decoration: none;
color: #242424;
width: 100%;
text-align: center;
padding: 10px;
border-radius: 3px;
}
を編集すると変えられると思います。
「続きを読む」の周囲の枠をなくしたいのであればborder: 1px solid;の記述を削除（あるいは、border: none;に変更。枠をなくすのであればborder-radius: 3px;も不要だと思います）。width: 100%;を削除（あるいは、width: auto;に変更）すると、「続きを読む」がコンパクトに左寄せになります。余白が気になる場合はpaddingやmarginを調整してみてください。
ごちゃごちゃ書いてしまいましたが、
a.readmorebutton {
margin: 20px auto;
text-decoration: none;
color: #242424;
width: auto;
}
こうするだけでも、nico様が仰っているテキストリンクに近くなるのではないでしょうか。ご参考になれば幸いです。